二十多年前作者上高二时，同学借给我了一本关于飞碟的杂志，上面印着狭义相对论中的时间膨胀公式。在后面的一段日子里，我对这个公式着了迷，将它抄在纸片上，夹在书中，上课时、回家后总是拿出来盯着一直看，并且试图自己去证明它。由于那时我对狭义相对论的理论体系一无所知，我的证明自然是得不到什么结果的。放暑假后，我让父亲给我去图书馆借了一本张永立教授关于相对论的专著，翻看时，由于看不懂微分符号d，又让我父亲给我买了一套高等数学。就这样，暑假两个月的时间里，我看完了高数，学会了狭义相对论及广义相对论的基础部分。
今天，我想肯定还有不少学生、物理爱好者经历着相同的困惑，因此我决定在这篇科普中，以初中生都能理解的数学概念推导出时间膨胀公式，哪怕仅仅只能帮助到几个或几十个人。也以此文怀念我去世的父亲。
参考系、惯性参考系
描述任何事件都离不开参考系，它可以理解成：一个（直角）坐标系及坐标系里面的时钟。坐标系用来描述事件的位置，时钟用来描述事件发生的时间。
惯性参考系指不存在惯性力且保持匀速直线运动的参考系。
相对性原理
相对性原理是一个不证自明的物理原理，它指出了惯性参考系对物理规律的等价性，说的是物理规律在任何惯性参考系上都是相同的，其中就包括，任何惯性参考系上光速都具有恒定值（约米/秒）。
两个沿x轴方向相对运动的惯性参考系
惯性参考系为了时间膨胀公式的推导方便，我们参考上图所示的两个沿x轴方向相对运动的惯性参考系K和K。参考系K相对于K沿x方向向右匀速运动。
光速不变原理就是指，假定在惯性参考系K上，A点向x相反的两个方向发出光子，那么光子在K上将会同时到达等距离的B、C两点。但是在参考系K上，光子到达B、C两点是不同时的，因为在K上的光速与K是相同的，光在发出时B会迎着光子运动，而C会背着光子运动。这就是同时的相对性。
四维时空及事件间隔
因为我们所讨论的事件始终发生在三维坐标系及一维时间中，因此可以将整个参考系视为四维时空——三维空间加一维时间。四维时空参考系上的一个事件，总对应着一个点，这个点称为世界点。两个事件的世界点之间的距离是四维时空中的一条直线，称为世界线。我们将世界线的长度，称为事件间隔。
事件间隔可以用下面的式子来描述。式中的d表示微分符号，例如dt表示时间坐标t的一个无限小增量。事件间隔s在任何惯性参考系上都是相等的，因为任何参考系对物理规律来说都是等价的，事件间隔没有任何因参考系而发生变化的理由。事件间隔表达式中，之所以三维空间的坐标增量存在负号，就是为了满足事件间隔s的不变性。
ds为事件间隔的增量（微分）时间膨胀公式的推导
现在假定在惯性参考系图中，我们在参考系K上随便找到一点M,假定参考系K上的dt事件段内，M运动的三维空间距离l的平方是
l平方的表达式那么M在dt时间段内的运动，在K上的事件间隔就是
K上，M在dt时间段内的事件间隔而K＇上它的事件间隔是
dt是M点上的时钟在这段运动里的增量我们知道，两个参考系上的事件间隔是相等的，则得到
两个参考系上的事件间隔相等整理等式的两边，并注意
v是M点的运动速度可以得到
时间膨胀公式总结
dt是M点上时钟的时间增量，dt是M在参考系K上的坐标时间的增量，由于v小于c，则站在参考系K上，明显可以看出运动点M上的时间（自时）变慢了。由于根号下不可能为负数，一眼就可以看出物体的运动不可能超过光速。
备注：
狭义相对论中的长度收缩，根据时间膨胀公式就可以直接得到。读者如果对微分符号d不熟悉，仅仅就将它理解为一个无限小的增量就可以。而在事件间隔的表达式中，用到了三维直角坐标系中直线的距离平方式，读者如果不熟悉的化，参照平面直角坐标系上的勾股定理就可理解。
若还存在不懂，可以留言。而广义相对论的数学形式比较复杂，作者在随后的时间，看能否以最简明的方式来写出来。